적률생성함수2 포아송분포의 적률생성함수 (Moment Generating Function of Poisson Distribution) 포아송분포 $Poisson(\lambda)$의 적률생성함수에 대하여 알아봅시다. 적률생성함수에 대해서 아직 모르시는 분들은 여기를 확인해보시면 됩니다. $$e^{a}=\sum^{\infty}_{x=0}\frac{a^x}{x!}$$ 인 사실을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있습니다. $$\begin{align*} M(t)&=\sum^{\infty}_{x=0}e^{tx}f(x)=\sum^{\infty}_{x=0}e^{tx}\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\ &=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{x=0}\frac{(\lambda e^t)^x}{x!} \\ &=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t} \\ &=e^{\lambda (e^t-1)} \end{a.. 2022. 1. 20. 적률생성함수 (Moment Generating Function) 적률생성함수에서 '적률'은 '積率'으로 '쌓을 적'과 '비율 률'을 씁니다. 영어로는 moment라고 합니다. 개인적으로 한자와 영어 둘다 적률의 수학적 의미와 직관적으로 연결되지는 않는 것 같습니다. 적률은 '확률 분포의 위치나 모양을 나타내는 기댓값'입니다. 확률 분포에 대한 설명이 담겨있는 값으로 풀어서 이야기 할 수 있습니다. 분포의 평균이나 분산 같은 정보를 담고 있는 것이 moment라고 생각하시면 되겠습니다. 이 moment를 생성하는 함수가 moment generating function입니다. 적률생성함수에 대해 알아보기 위해 확률변수의 기댓값을 먼저 확인해봅시다. 확률변수 $X$와 $X^2$의 기댓값은 다음과 같이 정의됩니다. $$\begin{align*} &E[X] = \int_{-\.. 2022. 1. 20. 이전 1 다음