포아송분포 Poisson(λ)의 적률생성함수에 대하여 알아봅시다.
적률생성함수에 대해서 아직 모르시는 분들은 여기를 확인해보시면 됩니다.
ea=∞∑x=0axx!
인 사실을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있습니다.
M(t)=∞∑x=0etxf(x)=∞∑x=0etxλxe−λx!=e−λ∞∑x=0(λet)xx!=e−λeλet=eλ(et−1)
포아송분포 Poisson(λ)의 적률생성함수
M(t)=eλ(et−1)
포아송분포 Poisson(λ)의 적률생성함수를 이용하면 평균과 분산을 쉽게 구할 수 있습니다. 적률생성함수의 미분값을 확인하여봅시다.
ddtM(t)=λeteλ(et−1)d2dt2M(t)=λeteλ(et−1)+(λet)2eλ(et−1)
임을 이용하여 E(X)와 E(X2)을 구할 수 있습니다.
E(X)=[ddtM(t)]t=0=λE(X2)=[d2dt2M(t)]t=0=λ+λ2
이다. 따라서
Var(X)=E(X2)−E(x)2=λ+λ2−λ2=λ
포아송분포 Poisson(λ)의 평균과 분산
X∼Poisson(λ)일 때
E(X)=λ,Var(X)=λ
포아송분포는 이항분포의 근사로서 이용될 뿐 아니라, 일정한 시간이나 일정한 공간에서 희귀하게 일어나는 사건의 횟수 등에 관한 확률모형으로 많이 이용됩니다. 예를 들면, 어느 지역의 1일 보행사고 발생 수, 3개월 동안 열차가 탈선할 횟수 등에 포아송분포를 적용할 수 있습니다.
일반적으로 단위당 발생률이 λ인 희귀현상에 대하여, 0에서 t 사이의 발생 횟수는 확률분포로서 포아송분포 Poisson(λt)가 흔히 사용됩니다. 여기서 '희귀'라는 말은 짧은 기간 동안에는 발생 가능성이 작으며, 두 번 이상 발생할 확률이 한 번 발생할 확률에 비하여 매우 작음을 의미합니다.
출처
김우철. 수리통계학 = Mathematical Statistics / 김우철 지음, 2012.
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