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Statistics

포아송분포의 적률생성함수 (Moment Generating Function of Poisson Distribution)

by 함승우 2022. 1. 20.

포아송분포 Poisson(λ)의 적률생성함수에 대하여 알아봅시다.

 

적률생성함수에 대해서 아직 모르시는 분들은 여기를 확인해보시면 됩니다.

ea=x=0axx!

인 사실을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있습니다.

M(t)=x=0etxf(x)=x=0etxλxeλx!=eλx=0(λet)xx!=eλeλet=eλ(et1)

포아송분포 Poisson(λ)의 적률생성함수

M(t)=eλ(et1)

포아송분포 Poisson(λ)의 적률생성함수를 이용하면 평균과 분산을 쉽게 구할 수 있습니다. 적률생성함수의 미분값을 확인하여봅시다.

ddtM(t)=λeteλ(et1)d2dt2M(t)=λeteλ(et1)+(λet)2eλ(et1)

임을 이용하여 E(X)E(X2)을 구할 수 있습니다.

E(X)=[ddtM(t)]t=0=λE(X2)=[d2dt2M(t)]t=0=λ+λ2

이다. 따라서

Var(X)=E(X2)E(x)2=λ+λ2λ2=λ

포아송분포 Poisson(λ)의 평균과 분산

XPoisson(λ)일 때

E(X)=λ,Var(X)=λ

 

포아송분포는 이항분포의 근사로서 이용될 뿐 아니라, 일정한 시간이나 일정한 공간에서 희귀하게 일어나는 사건의 횟수 등에 관한 확률모형으로 많이 이용됩니다. 예를 들면, 어느 지역의 1일 보행사고 발생 수, 3개월 동안 열차가 탈선할 횟수 등에 포아송분포를 적용할 수 있습니다.

 

일반적으로 단위당 발생률이 λ인 희귀현상에 대하여, 0에서 t 사이의 발생 횟수는 확률분포로서 포아송분포 Poisson(λt)가 흔히 사용됩니다. 여기서 '희귀'라는 말은 짧은 기간 동안에는 발생 가능성이 작으며, 두 번 이상 발생할 확률이 한 번 발생할 확률에 비하여 매우 작음을 의미합니다.

출처

김우철. 수리통계학 = Mathematical Statistics / 김우철 지음, 2012.