Poisson Distribution3 분포들 사이의 관계 1 (Relationship Between Distributions 1) 예전부터 통계 관련 강의를 들을 때마다 나오는 다양한 분포 (Distribution)에 대하여 궁금한 점이 많았습니다. F 분포가 뭐지? Gamma 분포는 또 뭘까? 하는 생각을 많이 하곤 했는데, 이번 글에서 그에 대한 제 나름의 답을 최대한 수식 없이 정리해보겠습니다. 식을 포함한 자세한 포스팅은 다음에 추가하고, 이번에는 개념적으로만 서술해보도록 노력해보겠습니다. 먼저, 동전이 던져서 앞면/뒷면이 나오는 사건, 한쪽 면에 잼을 바른 빵을 떨어뜨렸는데 잼을 바른 면/잼을 바르지 않은 면으로 떨어지는 사건과 같이 두 가지 결과만 나올 수 있는 독립시행을 베르누이 (Bernoulli) 독립시행이라고 합니다. 베르누이 독립시행을 여러 번 시행했을 때 특정 사건의 발생 확률은 이항분포를 따릅니다. 이항분포는.. 2022. 1. 20. 포아송분포의 적률생성함수 (Moment Generating Function of Poisson Distribution) 포아송분포 $Poisson(\lambda)$의 적률생성함수에 대하여 알아봅시다. 적률생성함수에 대해서 아직 모르시는 분들은 여기를 확인해보시면 됩니다. $$e^{a}=\sum^{\infty}_{x=0}\frac{a^x}{x!}$$ 인 사실을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있습니다. $$\begin{align*} M(t)&=\sum^{\infty}_{x=0}e^{tx}f(x)=\sum^{\infty}_{x=0}e^{tx}\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\ &=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{x=0}\frac{(\lambda e^t)^x}{x!} \\ &=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t} \\ &=e^{\lambda (e^t-1)} \end{a.. 2022. 1. 20. 포아송분포 (Poisson Distribution) 이항분포가 적용될 수 있는 실제 문제에서 $n$이 충분히 크고 성공률 $p$는 충분히 작은 때가 많이 있습니다. 예를 들어 자동차 사고에 의한 사망자수, 보험회사의 보험금 지급 건수 등이 그러한 경우입니다. 이러한 경우에 이항 분포의 확률을 정확히 계산하는 것은 매우 어려운 일이 됩니다. 이항확률의 근사계산에 대하여 알아봅시다. 표현의 간결성을 위하여 $np=\lambda$라는 일정한 값을 유지하면서 $n$이 충분히 크고 $p$가 충분히 작다고 합시다. 수학에서 알려진 사실인 $$\lim_{n\rightarrow\infty} (1+\frac{a}{n})^{n} = e^{a}$$ 를 이용하면, 이항확률은 $$\begin{align*}\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}p^x(1-p)^.. 2022. 1. 11. 이전 1 다음
